II. Mathematical Tools and Principles · 07. February 2024

The Indicator Functions in Layman’s Terms…

Indicator functions are crucial in financial mathematics, serving as binary conditions in the valuation of risky assets. They effectively act as switches in mathematical expressions, determining the inclusion or exclusion of certain terms based on the fulfillment of specific conditions.

For instance, when assessing the value of a zero-coupon bond in a risk-neutral environment (*), we consider the expected present value of the payoff, discounted at the risk-free rate. The formula incorporates the indicator function to account for the possibility of issuer default. The valuation is expressed as:

E* [ exp(−∫ r(s) ds) * I{τ > T} ] from t to T

This formula assumes the payoff occurs only if the issuer does not default before the bond's maturity.

Building on this concept, let's consider a more complex scenario where we introduce the possibility of default before maturity. The value of a risky zero-coupon bond is then given by the sum of two components – one reflecting the non-default scenario, and another accounting for the event of default. The formula for the valuation of a risky bond, considering the default risk, is:

D(t, T) = E* [ exp(-∫ from t to T of r(s) ds) * I{τ > T} + exp(-∫ from t to τ of r(s) ds) * δ * I{t < τ ≤ T} ]

Here, the first term under the expectation represents the value if no default occurs, while the second term adjusts the value for the possibility of default before maturity, weighted by the recovery rate δ. This nuanced application of the indicator function allows financial analysts to model the complex dynamics of bonds where the risk of default is a significant factor.

(*)
A risk-neutral environment assumes that there are no arbitrage opportunities, meaning that all assets are priced such that no risk-free profits can be made from market inefficiencies.

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Les fonctions indicatrices sont essentielles en mathématiques financières, car elles agissent comme des conditions binaires dans l'évaluation des actifs risqués. Elles agissent efficacement comme des interrupteurs dans les expressions mathématiques concernées, déterminant l'inclusion ou l'exclusion de certains termes en fonction de la réalisation de conditions spécifiques.

Par exemple, lors de l'évaluation de la valeur d'une obligation à coupon zéro dans un univers risque-neutre (*), nous tenons compte de la valeur actuelle attendue du paiement, actualisée au taux sans risque. La formule intègre la fonction indicatrice pour tenir compte de la possibilité de défaut de l'émetteur.

La valorisation s'exprime comme suit :

E* [ exp(−∫ r(s) ds) * I{τ > T} ] de t à T

Cette formule suppose que le paiement n'a lieu que si l'émetteur ne fait pas défaut avant l'échéance de l'obligation.

En partant de ce concept, considérons un scénario plus complexe où nous introduisons la possibilité de défaut avant l'échéance. La valeur d'une obligation à coupon zéro risquée est alors donnée par la somme de deux composantes : l'une reflétant le scénario sans défaut et l'autre tenant compte de l'événement de défaut. La formule de pricing d'une obligation risquée, en tenant compte du risque de défaut, est la suivante :

D(t, T) = E* [ exp(-∫ de t à T de r(s) ds) * I{τ > T} + exp(-∫ de t à τ de r(s) ds) * δ * I{t < τ ≤ T} ]

Ici, le premier terme à droite de l’équation représente la valeur en l'absence de défaut, tandis que le deuxième terme ajuste la valeur pour tenir compte de la possibilité de défaut avant l'échéance, pondéré par le taux de recouvrement δ.

Cette application de la fonction indicatrice permet de modéliser les dynamiques complexes du prix obligations dans le cadre desquelles le risque de défaut est un facteur significatif.

(*)

L’univers risque-neutre suppose qu'il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage, ce qui signifie que tous les actifs sont évalués de telle manière qu'aucun profit sans risque ne peut être réalisé à partir d’inefficiences de marché.

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Tags: II A. Probability and Statistics

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