II. Mathematical Tools and Principles · 29. juin 2024
Collateralized Debt Obligations (CDOs) bundle debts into tranches with varying risk levels and returns. Correlation between these tranches is crucial as it affects their performance. Compound correlation assesses tranches independently, which can lead to incomplete risk profiles and mispricing. In contrast, base correlation, centered on the equity tranche which absorbs losses first, provides a more holistic view by considering inter-tranche dependencies, ensuring more accurate risk assessment.
II. Mathematical Tools and Principles · 29. juin 2024
Cholesky decomposition plays a critical role in pricing Collateralized Debt Obligations (CDOs) by transforming independent variables into correlated ones based on a given correlation matrix. This method helps simulate scenarios of correlated defaults, essential for assessing risks and determining expected losses in CDO tranches.
V. Technical Methods and Interpolations · 17. juin 2024
It is essential to understand the risk of simultaneous default by several entities, particularly when it comes to credit derivatives such as basket credit default swaps. The joint probability of default and its correlation are key to understanding this risk. The correlation between two random variables X and Y is given by the formula : correlation(X, Y) = covariance(X, Y) / (σ_X * σ_Y) Where: - covariance(X, Y) is the covariance between X and Y. - sigma_X and sigma_Y are the standard...
I. Stochastic Models and Processes · 17. juin 2024
Si vous considérez un processus de Wiener Wₜ, et le multipliez par son intégrale ∫ de 0 à t Wₛ ds, vous obtenez un produit de deux processus stochastiques : Wₜ ⋅ ∫ de 0 à t Wₛ ds. Le produit Wₜ ⋅ ∫ de 0 à t Wₛ ds est une fonction non linéaire du processus de Wiener. En calcul stochastique, traiter des fonctions non linéaires de processus stochastiques nécessite généralement des outils comme le lemme d'Itô, qui permet la différenciation et l'intégration de...
II. Mathematical Tools and Principles · 10. juin 2024
Le modèle de Black-Scholes calcule la valeur théorique des options de style européen, en supposant que les prix des actions suivent une distribution log-normale. Le modèle est connu pour sa volatilité constante, l'absence de paiements de dividendes, et son utilisation innovante du calcul stochastique, influençant de manière significative la finance théorique et la pratique du trading. La formule pour une option d'achat européenne est : C = S₀ * N(d₁) - X * e^(-rT) * N(d₂) Où : -...
II. Mathematical Tools and Principles · 10. juin 2024
La sous-additivité est un principe en gestion des risques qui suggère que la combinaison de deux ou plusieurs actifs risqués ne doit pas entraîner un risque total supérieur à la somme des risques individuels. Ce concept repose sur l'idée que la diversification réduit généralement le risque. La formule de la sous-additivité peut être écrite comme suit : ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B) où "ρ" représente la mesure du risque, et A et B représentent différents actifs ou portefeuilles....
10. juin 2024
Le Théorème de Sklar, introduit en 1959, a révolutionné l'analyse multivariée en permettant la modélisation séparée des distributions individuelles et de leurs interdépendances, redéfinissant ainsi la modélisation probabiliste et la gestion des risques. Considérons un ensemble de variables aléatoires, X1, X2, ..., XN. Chaque variable a son propre comportement, modélisé par une fonction de distribution, notée F_Xi(x) pour la ième variable. Ces fonctions, connues sous le nom de...
I. Stochastic Models and Processes · 10. juin 2024
La formule de Black-Scholes pour une option d'achat est donnée par : C = S * N(d1) - K * e^(-rt) * N(d2). Dans cette formule, C représente le prix de l'option d'achat, S est le prix actuel de l'action, et K est le prix d'exercice de l'option. Les termes N(d1) et N(d2) proviennent de la fonction de distribution cumulative (CDF) de la distribution normale standard, où la CDF indique la probabilité qu'une variable soit inférieure ou égale à une valeur particulière, résumant l'accumulation...
II. Mathematical Tools and Principles · 10. juin 2024
De nombreux modèles financiers, notamment ceux qui traitent de la tarification des dérivés ou de la gestion des risques, sont basés sur des processus en temps continu comme le mouvement brownien. La discrétisation aide à convertir ces modèles continus en une forme qui peut être calculée numériquement. Pour simuler les dynamiques du marché pour des tâches telles que la tarification des options, l'optimisation de portefeuille ou l'évaluation des risques, les processus continus sont...
II. Mathematical Tools and Principles · 10. juin 2024
Lorsqu'on explore la probabilité d'événements, tels que les défauts de paiement sur les obligations, il est crucial de comprendre que connaître les probabilités individuelles, ou les distributions marginales, de chaque défaut d'obligation ne nous informe pas nécessairement sur la probabilité que plusieurs obligations fassent défaut en même temps. Ce concept est essentiel car, même si deux ensembles d'obligations ont des probabilités marginales identiques, leurs probabilités...