The Gumbel copula explained in Layman’s Terms

A copula is a mathematical concept used in statistics to describe the relationship between multiple variables. Its main function is to capture the dependence structure between these variables, separate from their individual distributions.

In multivariate analysis, you often deal with multiple variables, each with its own distribution (margins). A copula allows you to study and model how these variables are related (dependence) independently from their individual distributions.

Essentially, a copula takes the individual distributions of variables and merges them into a joint multivariate distribution. This joint distribution reflects not just the individual behaviors of each variable but also how they interact or depend on each other.

Copulas work by using the cumulative distribution functions (CDFs) of variables, which are transformed to uniform distributions on the interval [0, 1].

After transforming the margins to uniform distributions, the copula then models the dependence structure between these variables. It essentially « ties» together the separate uniform distributions, creating a multivariate distribution that reflects the dependencies.

The Gumbel copula is a member of the Archimedean family of copulas. It's particularly well-suited for modeling tail dependencies, especially for variables that tend to show extreme values simultaneously.

The Gumbel copula C(u, v) is defined using the formula: C(u, v) = exp(-[ (-log u)^θ + (-log v)^θ ]^(1/θ)) where u and v are the cumulative distribution functions (CDFs) of the variables, and θ is a parameter that controls the strength of the dependence, with θ ≥ 1.

Higher values of θ indicate stronger tail dependence.

Consider two financial assets, A and B, which are part of a CDO. We are interested in understanding the risk of joint defaults.

Assume that we have historical default data for these assets. Let's say the probabilities of default (within a year) for assets A and B are 5% and 10%, respectively.

For this example, we'll choose a θ value greater than 1 to reflect dependence, say θ = 2. This indicates a stronger dependency, especially in the tails.

First, we transform the default probabilities to uniform distributions. For simplicity, let's use the default probabilities directly as our uniform values. So, u (for asset A) = 0.05, and v (for asset B) = 0.10.

Plugging in the values:
u = 0.05, v = 0.10, and θ = 2.
We calculate (-log(0.05))^2, (-log(0.10))^2, and then add these values.
Raise the sum to the power of 1/2 (since θ = 2), and finally apply the exponential function.

The joint probability of both assets A and B defaulting simultaneously within the year, under our assumptions, is approximately 2.29%.

In the context of pricing CDOs in 2008, using such a model which emphasizes tail dependencies (like the Gumbel copula) could have provided a more realistic assessment of risk compared to Gaussian copulas.

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Une copule est un concept mathématique utilisé en statistiques pour décrire la relation entre plusieurs variables. Sa principale fonction est de capturer la structure de dépendance entre ces variables, indépendamment de leurs distributions individuelles.

Dans l'analyse multivariée, nous avons souvent affaire à plusieurs variables, chacune ayant sa propre distribution (marges). Une copule permet d'étudier et de modéliser comment ces variables sont liées (dépendance) indépendamment de leurs distributions individuelles.

Essentiellement, une copule prend les distributions individuelles des variables et les fusionne en une distribution multivariée conjointe. Cette distribution conjointe reflète non seulement les comportements individuels de chaque variable, mais aussi comment elles interagissent ou dépendent les unes des autres.

Les copules fonctionnent en utilisant les fonctions de répartition cumulatives (CDF) des variables, qui sont transformées en distributions uniformes sur l'intervalle [0, 1].

Après avoir transformé les marges en distributions uniformes, la copule modélise alors la structure de dépendance entre ces variables. Elle « lie » essentiellement ensemble les distributions uniformes séparées, créant une distribution multivariée qui reflète les dépendances.

La copule de Gumbel est un membre de la famille des copules archimédiennes. Elle est particulièrement bien adaptée pour modéliser les dépendances de queue, en particulier pour les variables qui ont tendance à montrer des valeurs extrêmes simultanément.

La copule de Gumbel C(u, v) est définie à l'aide de la formule : C(u, v) = exp(-[ (-log u)^θ + (-log v)^θ ]^(1/θ)) où u et v sont les fonctions de répartition cumulatives (CDF) des variables, et θ est un paramètre qui contrôle la force de la dépendance, avec θ ≥ 1.

Des valeurs plus élevées de θ indiquent une dépendance de queue plus forte.

Considérez deux actifs financiers, A et B, qui font partie d'un CDO. Nous sommes intéressés à comprendre le risque de défauts conjoints.

Supposons que nous ayons des données historiques de défaut pour ces actifs. Disons que les probabilités de défaut (dans un an) pour les actifs A et B sont respectivement de 5 % et 10 %.

Pour cet exemple, nous choisirons une valeur de θ supérieure à 1 pour refléter la dépendance, disons θ = 2. Cela indique une dépendance plus forte, en particulier dans les queues.

D'abord, nous transformons les probabilités de défaut en distributions uniformes. Pour simplifier, utilisons directement les probabilités de défaut comme nos valeurs uniformes. Donc, u (pour l'actif A) = 0,05, et v (pour l'actif B) = 0,10.

En insérant les valeurs :

 u = 0,05, v = 0,10, et θ = 2.

Nous calculons (-log(0,05))^2, (-log(0,10))^2, puis ajoutons ces valeurs.

Élevons la somme à la puissance de 1/2 (puisque θ = 2), et appliquons finalement la fonction exponentielle.

La probabilité conjointe que les deux actifs A et B fassent défaut simultanément dans l'année, sous nos hypothèses, est d'environ 2,29 %.

Dans le contexte du pricing des CDO en 2008, l'utilisation d'un tel modèle qui met l'accent sur les dépendances de queue (comme la copule de Gumbel) aurait pu fournir une évaluation plus réaliste du risque par rapport aux copules gaussiennes.

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