In financial modeling, we often distinguish between "real-world" (or "physical") probabilities and "risk-neutral" probabilities. Real-world probabilities reflect the actual likelihood of events
occurring in the market. In contrast, risk-neutral probabilities adjust these likelihoods to factor in market risk preferences and the time value of money, essentially showing the probabilities
in a world where investors are indifferent to risk.
This
risk-neutral measure which can be complicated to grasp, at least intuitively, is the building block of any derivative pricing and not only contingent claim derivatives like options and swaptions
but also forward commitments like futures and forwards.
The Radon-Nikodym derivative serves as a crucial conversion tool. It adjusts the probabilities of future market behaviors from the real-world perspective to the risk-neutral
one.
However, it's not just about seeing differently; it's about recalibrating our models to these new views. This is where Girsanov's Theorem steps in, offering the mathematical levers to shift the
drift of our financial processes accordingly.
The theorem ensures that once we've applied the Radon-Nikodym « conversion factor » to our models, they reflect a world where pricing is done without the possibility of arbitrage,
ensuring fairness and consistency in the risk-neutral framework.
This allows the use of the risk-neutral measure to price derivatives, making the pricing consistent with the absence of arbitrage.
The HJM framework models the entire yield curve, or rather the forward rates, as opposed to just short rates. Girsanov's Theorem is used in this framework to ensure that the model is
arbitrage-free by transforming the drift of forward rates under the real-world probability measure to the risk-neutral measure.
The CIR model is a one-factor model of interest rate movements that assumes that the short rate follows a stochastic process. Girsanov's Theorem is applied to switch the probability measure from
the real-world to the risk-neutral, which is necessary for the pricing of zero-coupon bonds and other interest rate derivatives.
The Hull-White model is an extension of the Vasicek model, adding a time-dependent parameter to the drift term to fit the initial term structure of interest rates. Here, Girsanov's Theorem is
used to derive an arbitrage-free model by adjusting the drift of the short-rate process when moving to a risk-neutral measure for derivative pricing.
In summary, Girsanov's Theorem provides the mathematical foundation to adjust stochastic processes from a real-world measure to a risk-neutral measure, which is a crucial step in the risk-neutral
pricing of derivatives.
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Dans le cadre de la modélisation financière, nous faisons souvent une distinction entre les probabilités "du monde réel" (ou "physiques") et les probabilités "neutres au risque".
Les probabilités du monde réel reflètent la probabilité réelle que les événements se produisent sur le marché. En revanche, les probabilités neutres au risque ajustent ces probabilités pour tenir
compte des préférences en matière de risque sur le marché et de la valeur temporelle de l'argent, montrant essentiellement les probabilités dans un monde où les investisseurs sont indifférents au
risque.
Cette mesure neutre au risque, qui peut être difficile à appréhender, du moins intuitivement, est fondamental dans le cadre du pricing et de la valorisations des produits dérivés, et pas
seulement des dérivés de type conditionnels comme les options et les swaptions, mais aussi des contrats à terme et autres contrats forwards.
La dérivée de Radon-Nikodym sert d'outil de conversion incontournable des probabilités issues de l’univers « physique » à l’univers risque-neutre.
Cependant, il ne s'agit pas seulement de voir les choses différemment ; il s'agit de recalibrer nos modèles à ces nouvelles perspectives. C'est là que le théorème de Girsanov intervient, offrant
les leviers mathématiques pour ajuster la « dérive » de nos processus financiers en conséquence.
Le théorème garantit que, une fois que nous avons appliqué le "facteur de conversion" de Radon-Nikodym à nos modèles, ils reflètent un monde où le pricing des instruments financiers considérés
est effectué sans possibilité d'arbitrage, garantissant une approche systématique et cohérente dans l’univers risque neutre.
Cela permet d'utiliser la mesure neutre au risque pour évaluer les dérivés, en rendant la tarification conforme à l'absence d'arbitrage.
Le cadre HJM modélise l'ensemble de la courbe des taux d'intérêt, ou plutôt les taux forward, par opposition aux taux courts. Le théorème de Girsanov est utilisé dans ce cadre pour garantir que
le modèle est sans arbitrage en transformant la dérive des taux forward de la mesure de probabilité du monde réel à la mesure neutre au risque.
Le modèle CIR est un modèle à un seul facteur de mouvement des taux d'intérêt qui suppose que le taux court suit un processus stochastique. Le théorème de Girsanov est appliqué pour passer de la
mesure de probabilité du monde réel à la mesure neutre au risque, ce qui est nécessaire pour la tarification des obligations à coupon zéro et autres dérivés de taux d'intérêt.
Le modèle de Hull-White est une extension du modèle de Vasicek, ajoutant un paramètre dépendant du temps à la composante de dérive pour ajuster la structure à terme initiale des taux
d'intérêt.
Ici, le théorème de Girsanov est utilisé pour dériver un modèle sans arbitrage en ajustant la dérive du processus des taux courts lors du passage à une mesure neutre au risque pour la
tarification des dérivés.
En résumé, le théorème de Girsanov fournit les bases mathématiques pour ajuster les processus stochastiques d'une mesure du monde réel à une mesure neutre au risque, ce qui est une étape cruciale
dans la tarification des dérivés neutres au risque.
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