N(d2) expliqué en termes simples

La formule de Black-Scholes pour une option d'achat est donnée par : C = S * N(d1) - K * e^(-rt) * N(d2). Dans cette formule, C représente le prix de l'option d'achat, S est le prix actuel de l'action, et K est le prix d'exercice de l'option. Les termes N(d1) et N(d2) proviennent de la fonction de distribution cumulative (CDF) de la distribution normale standard, où la CDF indique la probabilité qu'une variable soit inférieure ou égale à une valeur particulière, résumant l'accumulation des probabilités jusqu'à ce point.

En se concentrant sur N(d2), il représente la probabilité, selon la mesure neutre au risque, que le prix de l'action dépasse le prix d'exercice (K) à la date d'expiration. Cela est crucial car cela calcule la probabilité que l'option soit "dans la monnaie" à l'expiration.

Un N(d2) plus élevé suggère une plus grande probabilité que l'option soit exercée de manière rentable. Le terme K * e^(-rt) * N(d2) dans la formule ajuste le coût attendu de l'exercice de l'option à la valeur actuelle, en tenant compte de la probabilité réelle d'exercer l'option.

Cette mesure neutre au risque est essentielle dans la tarification des options car elle suppose que tous les investissements croissent à un taux sans risque, se concentrant sur les probabilités mathématiques sans tenir compte des préférences individuelles en matière de risque.

Le concept de la mesure neutre au risque dans la tarification des options, en particulier dans le contexte du modèle de Black-Scholes, est fondamental pour garantir qu'il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage. En termes plus simples, cela signifie tarifer l'option de manière à ce que personne ne puisse réaliser un profit sans risque en exploitant les différences de prix sur le marché.

Lorsque N(d2) est élevé, cela signifie qu'il y a une plus grande chance que l'exercice de l'option soit rentable (le prix de l'action sera au-dessus du prix d'exercice à l'expiration). Le terme K * e^(-rt) * N(d2) représente le coût attendu de l'exercice de l'option, actualisé à la valeur présente, et ajusté par la probabilité d'exercer réellement l'option. Un N(d2) plus élevé augmente ce terme, indiquant un coût attendu plus élevé en raison de la probabilité accrue d'exercer l'option.

Lorsqu'on considère l'impact d'une augmentation de N(d2), le deuxième terme de la formule, K * e^(-rt) * N(d2), représente le coût attendu de l'exercice de l'option à son expiration, actualisé à la valeur présente.

À mesure que N(d2) augmente, ce deuxième terme devient plus grand. Étant donné qu'il est soustrait du premier terme, un N(d2) plus élevé réduit en fait la valeur nette actuelle de l'option d'achat.

Cependant, bien qu'un N(d2) plus élevé augmente le coût attendu (réduisant ainsi le rendement immédiat de l'option d'achat), il signifie également une probabilité plus élevée que l'option soit suffisamment précieuse pour être exercée. L'impact global sur le prix de l'option d'achat est un équilibre entre ces facteurs - la probabilité accrue d'exercer l'option et le coût attendu plus élevé de le faire.

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