Le Théorème de Sklar, introduit en 1959, a révolutionné l'analyse multivariée en permettant la modélisation séparée des distributions individuelles et de leurs interdépendances, redéfinissant
ainsi la modélisation probabiliste et la gestion des risques.
Considérons un ensemble de variables aléatoires, X1, X2, ..., XN. Chaque variable a son propre comportement, modélisé par une fonction de distribution, notée F_Xi(x) pour la ième variable. Ces
fonctions, connues sous le nom de distributions marginales, décrivent la probabilité que Xi prenne une valeur inférieure ou égale à x indépendamment des autres variables.
Une copule (*) est une fonction mathématique qui relie des marginales univariées pour former leur distribution multivariée. La beauté des copules réside dans leur capacité à modéliser la
structure de dépendance des variables séparément de leurs marginales.
Le Théorème de Sklar stipule que pour toute fonction de distribution cumulative multivariée F avec des marginales données, il existe une copule C telle que pour tout vecteur (x1, x2, ..., xN), la
distribution conjointe peut être écrite comme :
F(x1, x2, ..., xN) = C(F_X1(x1), F_X2(x2), ..., F_XN(xN))
On dit alors que F a C comme copule.
Ce qui rend le Théorème de Sklar particulièrement puissant est la propriété d'invariance des copules.
La copule reste constante même lorsque les distributions individuelles (marginales **) changent, permettant aux analystes d'adapter les modèles sans affecter la structure de dépendance
sous-jacente.
Supposons que nous ayons deux actifs financiers X et Y avec des rendements corrélés. Supposons que X suive une distribution normale et Y une distribution exponentielle. Une copule de Clayton
(***) est choisie pour modéliser leur dépendance.
Selon le Théorème de Sklar, nous pouvons construire leur fonction de distribution conjointe F(x, y) en utilisant la copule de Clayton et les distributions marginales. S'il est ensuite découvert
que X suit en fait une distribution log-normale, seule la marginale pour X doit être mise à jour. La copule de Clayton capturant la dépendance entre X et Y reste valide.
Les applications du Théorème de Sklar sont vastes, notamment en finance où la modélisation des mouvements conjoints des rendements des actifs est cruciale. Les copules sont largement utilisées
dans la tarification des dérivés multi-actifs, la gestion des risques et l'optimisation de portefeuille.
(*)
Le mot "copule" provient du latin, où il signifie "un lien" ou "une attache."
(**)
Les marginales, en statistique, se réfèrent aux distributions individuelles des composantes au sein d'une distribution multivariée. Elles décrivent la distribution de probabilité de chaque
variable indépendamment, en ignorant la présence ou l'influence des autres variables dans l'ensemble de données.
(***)
La copule de Clayton est un type de copule particulièrement efficace pour capturer la dépendance asymétrique des queues, ce qui signifie qu'elle peut modéliser efficacement les situations où des
valeurs extrêmes d'une variable sont susceptibles d'être associées à des valeurs extrêmes d'une autre.
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