La dérivée de Radon-Nikodym en termes simples

Dans le cadre de la modélisation financière, nous faisons souvent une distinction entre les probabilités "du monde réel" (ou "physiques") et les probabilités "neutres au risque". 

Les probabilités du monde réel reflètent la probabilité réelle que les événements se produisent sur le marché. En revanche, les probabilités neutres au risque ajustent ces probabilités pour tenir compte des préférences en matière de risque sur le marché et de la valeur temporelle de l'argent, montrant essentiellement les probabilités dans un monde où les investisseurs sont indifférents au risque.

Cette mesure neutre au risque, qui peut être difficile à appréhender, du moins intuitivement, est fondamental dans le cadre du pricing et de la valorisations des produits dérivés, et pas seulement des dérivés de type conditionnels comme les options et les swaptions, mais aussi des contrats à terme et autres contrats forwards.

La dérivée de Radon-Nikodym sert d'outil de conversion incontournable des probabilités issues de l’univers « physique » à l’univers risque-neutre.

Cependant, il ne s'agit pas seulement de voir les choses différemment ; il s'agit de recalibrer nos modèles à ces nouvelles perspectives. C'est là que le théorème de Girsanov intervient, offrant les leviers mathématiques pour ajuster la « dérive » de nos processus financiers en conséquence.

Le théorème garantit que, une fois que nous avons appliqué le "facteur de conversion" de Radon-Nikodym à nos modèles, ils reflètent un monde où le pricing des instruments financiers considérés est effectué sans possibilité d'arbitrage, garantissant une approche systématique et cohérente dans l’univers risque neutre.

Cela permet d'utiliser la mesure neutre au risque pour évaluer les dérivés, en rendant la tarification conforme à l'absence d'arbitrage.

Le cadre HJM modélise l'ensemble de la courbe des taux d'intérêt, ou plutôt les taux forward, par opposition aux taux courts. Le théorème de Girsanov est utilisé dans ce cadre pour garantir que le modèle est sans arbitrage en transformant la dérive des taux forward de la mesure de probabilité du monde réel à la mesure neutre au risque.

Le modèle CIR est un modèle à un seul facteur de mouvement des taux d'intérêt qui suppose que le taux court suit un processus stochastique. Le théorème de Girsanov est appliqué pour passer de la mesure de probabilité du monde réel à la mesure neutre au risque, ce qui est nécessaire pour la tarification des obligations à coupon zéro et autres dérivés de taux d'intérêt.

Le modèle de Hull-White est une extension du modèle de Vasicek, ajoutant un paramètre dépendant du temps à la composante de dérive pour ajuster la structure à terme initiale des taux d'intérêt. 
Ici, le théorème de Girsanov est utilisé pour dériver un modèle sans arbitrage en ajustant la dérive du processus des taux courts lors du passage à une mesure neutre au risque pour la tarification des dérivés.

En résumé, le théorème de Girsanov fournit les bases mathématiques pour ajuster les processus stochastiques d'une mesure du monde réel à une mesure neutre au risque, ce qui est une étape cruciale dans la tarification des dérivés neutres au risque.

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