Le modèle de Black-Scholes calcule la valeur théorique des options de style européen, en supposant que les prix des actions suivent une distribution log-normale. Le modèle est connu pour sa
volatilité constante, l'absence de paiements de dividendes, et son utilisation innovante du calcul stochastique, influençant de manière significative la finance théorique et la pratique du
trading.
La formule pour une option d'achat européenne est :
C = S₀ * N(d₁) - X * e^(-rT) * N(d₂)
Où :
- C est le prix de l'option d'achat.
- S₀ est le prix actuel de l'action.
- X est le prix d'exercice.
- T est le temps jusqu'à l'expiration (en années).
- r est le taux d'intérêt sans risque.
- σ est la volatilité du rendement de l'action.
- N(·) est la fonction de distribution cumulative normale standard.
- d₁ et d₂ sont définis comme suit :
d₁ = (ln(S₀/X) + (r + σ²/2)T) / (σ√T)
d₂ = d₁ - σ√T
- ln(S₀/X) est le logarithme naturel du ratio prix de l'action sur prix d'exercice.
- r est le taux d'intérêt sans risque.
- σ² est la volatilité au carré de l'action.
- T est le temps jusqu'à l'expiration de l'option.
Le terme σ² / 2 corrige pour la moyenne plus élevée d'une variable distribuée log-normalement par rapport à son logarithme distribué normalement, traitant de l'asymétrie à droite de la
distribution log-normale.
La standardisation en statistique signifie ajuster les données pour qu'elles aient une moyenne de 0 et un écart-type de 1. Dans la formule de Black-Scholes, la division par σ√T standardise d₁ et
d₂. Ce processus échelonne l'impact du prix de l'action, du prix d'exercice, de la volatilité et du temps, rendant le modèle applicable à différents scénarios.
Cette standardisation aligne d₁ et d₂ avec les propriétés d'une distribution normale standard, facilitant l'utilisation de N(d₁) et N(d₂) pour estimer les probabilités pertinentes à la valeur de
l'option.
Le modèle de Black-Scholes, avec ses composantes σ² / 2 et σ√T, fournit un cadre robuste pour la tarification des options. Le terme σ² / 2 traite des caractéristiques de la distribution
log-normale, tandis que σ√T standardise les calculs du modèle.
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